نشریه تخصصی مهندسی صنایع دوره 48 شماره 1 فروردین ماه 1393 از صفحه 13 تا 22 کمحوصله

Transcript

1 13 نشریه تخصصی مهندسی صنایع دوره 48 شماره 1 فروردین ماه 1393 از صفحه 13 تا مکانیابی براي دو تسهیل مستعد ازدحام با در نظر گرفتن کمحوصله مشتریان 1 1* جمال ارکات و شکوفه زمانی استادیار گروه مهندسی صنایع - دانشگاه کردستان دانشآموخته کارشناسی ارشد مهندسی صنایع - دانشگاه کردستان (تاریخ دریافت 9//1 تاریخ دریافت روایت اصلاحشده 9/11/6 تاریخ تصویب ( 9/1/18 مقدمه چکیده در این مقاله مسي له مکانیابی شبکهاي براي دو تسهیل مستعد ازدحام و مشتریان کمحوصله مورد بررسی قرار میگیرد. هر مشتري هنگام مراجعه به تسهیل مربوطه در صورتی که با اندازه صفی بیش از آستانه تحمل خود مواجه شود از ورود منصرف شده و به تسهیل دیگر مراجعه میکند. در تسهیل دوم نیز اگر وضعیتی مشابه وجود داشته باشد مشتري از دریافت خدمت منصرف میشود. هدف این مسي له انتخاب دو مکان از بین تعدادي مکان کاندیدا براي احداث دو تسهیل خدمتدهنده و تخصیص مشتریان شبکه به تسهیلات ذکرشده است به گونهاي که میزان تقاضاي از دست رفته به دلیل وجود صف طولانی کمینه شود. با تعریف و توسعه گونه جدیدي از سیستمهاي صف فوقمکعبی مدل ریاضی مسي له اراي ه میشود و براي سنجش کارآیی و درستی آن یک مثال عددي اراي ه و توسط نرمافزار GAMS حل میشود. واژههاي کلیدي: مکانیابی شبکهاي تسهیلات پرازدحام سیستمهاي صف فوقمکعبی مشتریان کمحوصله به طور کلی مساي ل مکانیابی تسهیلات را میتوان به دو دسته مکانیابی تسهیلات متحرك و مکانیابی تسهیلات ثابت تقسیم کرد. در مساي ل مکانیابی تسهیلات ثابت در هر تسهیل یک یا چند خدمتدهنده مستقر هستند و هر مشتري براي دریافت خدمت مورد نیاز به محل استقرار تسهیل متناظر مراجعه میکند. مکانیابی 1 دستگاههاي خودپرداز بانک وبپروکسیهاي مربوط به سیستمهاي ارتباطی و ایستگاههاي سوخترسانی از جمله کاربردهایی هستند که در ادبیات تحقیق به فراوانی به آنها پرداخته شده است. در مکانیابی تسهیلات متحرك فرض میشود که یک یا چند خدمتدهنده که در هر یک از تسهیلات مستقر هستند براي اراي ه خدمات به محل مشتریان مراجعه میکنند و خدمت مربوطه در محل مشتري اراي ه میشود. مکانیابی تسهیلات اضطراري مانند ایستگاههاي آمبولانس پلیس یا آتشنشانی کاربردهاي اصلی براي این نوع از مساي ل مکانیابی به شمار میروند. از سویی مساي ل مکانیابی را میتوان بر اساس معیار وجود یا نبود ازدحام در سیستم خدمتدهی به دو دسته تقسیم کرد. در دسته نخست مساي ل متعارفی همچون p میانه c -مرکز و پوشش مجموعه قرار میگیرند که در آنها فرض میشود که خدمتدهی به هر مشتري بلافاصله پس از ورود وي به تسهیل انجام میگیرد و هیچگاه در سیستم صف تشکیل نمیشود. در دسته دوم زمانهاي خدمتدهی در مقایسه با فواصل زمانی بین ورود مشتریان متوالی قابل ملاحظه هستند و بنابراین صف تشکیل میشود و مشتریان مجبور خواهند بود در نظامی از قبل مشخص براي شروع خدمتدهی منتظر بمانند. به دلیل نبود قطعیت در زمانهاي بین ورود مشتریان و زمانهاي خدمتدهی مساي ل مکانیابی با ازدحام از مساي ل پیچیده براي مدلسازي و حل به شمار میروند. لارسون [1 و ] نخستین محققی است که با اراي ه ایده ایجاد ازدحام در اراي ه خدمت به مشتریان فرض متداول قطعی بودن ماهیت مسایل دنیاي واقعی را در مساي ل مکانیابی به چالش کشید. مدلهاي مکانیابی با ازدحام بر اساس معیارهایی مانند تعداد خدمتدهندگان مستقر در هر تسهیل قاعده تخصیص مشتریان به تسهیلات 7 6 (مانند قاعده مجاورت و قاعده جاذبه ) توزیع زمانهاي بین ورود مشتریان متوالی و توزیع زمانهاي خدمتدهی دستهبندي میشوند. مکانیابی با تسهیلات مهمترین وجه تمایز مدلهاي با ازدحام نوع تابع هدف به کار j.arkat@uok.ac.ir تلفن: * نویسنده مسي ول:

2 نشریه تخصصی مهندسی صنایع, دوره 48 شماره 1 فروردین ماه گرفته در آنها است و از این نظر این مساي ل به سه دسته مساي ل میانه مساي ل پوششی و مساي ل مرکز تقسیم میشوند. مدلهاي میانه به مدلهایی اطلاق میشوند که در آنها توابع هدف به صورت حداقل کردن مجموع هزینهها یا زمانهاي سفر و انتظار مشتریان تعریف میشوند. وانگ و [3] همکاران مدل مکانیابی تسهیلات پرازدحام با خدمتدهنده ثابت را براي حالتی که در هر تسهیل حداکثر یک خدمتدهنده مستقر شود و مدل صف ایجاد شده از نوع M/M/1 (یک خدمتدهنده ورودهاي پواسان و زمانهاي خدمتنمایی) باشد مورد مطالعه قرار دادند. تابع هدف مدل اراي ه شده با تا کید بر جنبههاي مشتريمداري مجموع هزینههاي سفر مشتریان و تسهیلات و هزینههاي انتظار آنها در صف را کمینه میکند. برمن و درزنر [4] با توسعه مدل وانگ [3] از تسهیلات تکخدمتدهنده به تسهیلات چندخدمتدهنده به بررسی سیستمهاي پرداختهاند. در مدل اراي ه M/M/c شده از قاعده مجاورت براي تخصیص مشتریان استفاده شده است. یعنی هر مشتري براي دریافت خدمت به نزدیکترین خدمتدهنده مراجعه میکند و در شرایطی که دو یا چند خدمتدهنده در فاصله یکسانی از وي قرار داشته باشند به نسبت یکسان از آنها استفاده میکند. در تابع هدف این تحقیق مجموع هزینههاي مربوط به زمانهاي سفر مشتریان به تسهیلات و میانگین زمانهاي صرف شده در صف انتظار کمینه میشوند. نویسندگان براي حل این مسي له از سه روش 9 8 فراابتکاري الگوریتم ژنتیک بازپخت شبیهسازي شده و 10 جستجوي ممنوعه استفاده کردهاند و نشان دادهاند که الگوریتم ژنتیک نسبت به دو الگوریتم دیگري کارآیی بالاتري دارد. مدل ریاضی اراي ه شده توسط پسندیده و اخوان نیاکی [5] از جمله معدود مدلهایی است که به طور همزمان هر دو جنبه مشتري و خدمتدهنده را در تابع هدف در نظر گرفته است. محققان یک مدل دوهدفه را به صورت کمینه کردن همزمان مجموع زمانهاي سپري شده توسط مشتریان (زمانهاي سفر و زمانهاي انتظار در سیستم) و درصد بیکاري خدمتدهندگان اراي ه کردهاند. در این مدل فرض شده است که در هر تسهیل فقط یک خدمتدهنده میتواند مستقر شود بنابراین M/M/1 نوع مدل صف بررسیشده از است. از آنجایی که مدل اراي ه شده یک مدل دوهدفه عدد صحیح آمیخته غیرخطی است نویسندگان براي حل آن از الگوریتم ژنتیک استفاده کردهاند. مشابه تحقیق پیشین چمبري و همکاران [6] یک مدل دوهدفه را با در نظر گرفتن خدمتدهنده اراي ه کردهاند. همزمان دو جنبه مشتري و توابع هدف مدل اراي ه شده مشابه توابع هدف تحقیق قبلی است. فرض اصلی که این مدل را از مدل پیشین متمایز میکند در نظر گرفتن ظرفیت محدود براي فضاي انتظار در هر یک از تسهیلات و در نتیجه استفاده از نتایج مربوط به سیستمهاي صف محققان است. M/M/1/K براي به دست آوردن مجموعه نقاط نامغلوب از دو روش فراابتکاري چندهدفه NRGA NSGA-II بر استفاده کردهاند. نتایج محاسباتی اراي ه حاکی از برتري روش دوم نسبت به روش نخست است. خلاف دسته اول و شده مدلهاي مکانیابی تسهیلات پرازدحام با سرورهاي ثابت که در آنها تابع هدف به کیفیت پوشش مشتریان معطوف است تمرکز تابع هدف دسته دوم این گونه مدلها (یعنی مدلهاي پوششی) بر میزان پوشش مشتریان است. بدین ترتیب در دسته دوم توابع هدفی نظیر بیشینه کردن میزان پوشش یا کمینه کردن مشتریان خارج از محدوده پوشش تسهیلات به کار برده شدهاند. بر برمن و همکاران تابع هدف حداکثر [7] کردن امید تعداد مشتریان پوشش داده شده را براي مسي له مکانیابی تسهیلات ثابت در نظر گرفتهاند. در این تحقیق معیار مجاورت یعنی مراجعه مشتري به نزدیکترین تسهیل به عنوان یکی از مفروضات اصلی در نظر گرفته شده است. در صورتی که تسهیل متناظر یک مشتري به حداکثر ظرفیت خود رسیده باشد و امکان پذیرش مشتریان جدید وجود نداشته باشد مشتریان تخصیص یافته به آن به نزدیکترین تسهیل بعدي که تا کنون ملاقات نکردهاند مراجعه میکنند. هاماگوچی و ناکاده [8] مسي له مکانیابی شبکهاي با تسهیلات ثابت را اساس سیستم صف معنی که محققان فرض M/G/1 کردهاند بدین مدلسازي کردهاند که زمانهاي بین ورودهاي متوالی مشتریان از توزیع نمایی پیروي میکنند اما زمانهاي خدمتدهی به صورت یک توزیع کلی در نظر گرفته میشوند. تابع هدف مدل اراي ه شده بیشینه کردن مجموع تقاضاهاي پوشش داده شده است. در این تحقیق از روش تبدیل لاپلاس براي محاسبه تابع توزیع زمان انتظار مشتریان در سیستم استفاده شده است اما به دلیل

3 15 مکانیابی براي دو تسهیل... پیچیدگی وارون تبدیل لاپلاس شکل صریحی براي زمانهاي انتظار مشتریان به دست نیامده و بنابراین محققان به روشهاي ابتکاري متوسل شدهاند. مقدس و تقیزاده کاخکی مسي له [9] معین مکانیابی بیشینه پوشش را با در نظر گرفتن تسهیلات چندخدمتدهنده مورد بررسی قرار دادهاند. در مدل اراي ه شده براي این مسي له فرض شده است که متوسط زمان انتظار در هر تسهیل و همچنین مجموع هزینههاي برپایی تسهیلات و خدمتدهندگان از آستانههاي مشخصی تجاوز نکند. از آنجایی که تعداد خدمتدهندگان موجود در هر تسهیل جزو متغیرهاي تصمیم مدل ریاضی در نظر گرفته شدهاند ساختار مدل ریاضی اراي ه شده مدلهاي متعارف است. M/M/1 به مراتب پیچیدهتر از نویسندگان براي حل مسي له اراي ه شده دو الگوریتم ابتکاري جستجوي محلی را توسعه دادهاند. تابع هدف مدلهاي مکانیابی مرکز به عنوان دسته سوم از مساي ل مکانیابی تسهیلات پرازدحام از نوع کمینه کردن بیشینه است. (minimax) فاصله یا زمانهاي خدمتدهی استفاده از این نوع تابع هدف مختص مساي ل مکانیابی تسهیلات اورژانسی است یعنی مساي لی که در آنها لازم است در کوتاهترین زمان ممکن به دورترین مشتري نیز خدمترسانی انجام شود. مساي لی همچون مکانیابی ایستگاههاي آمبولانس آتشنشانی یا پلیس از این قبیل مساي ل هستند. به عنوان نمونهاي از تحقیقاتی که به این نوع از مساي ل پرداختهاند میتوان به آبولین [10] اشاره کرد. در مدل ریاضی اراي ه شده در این تحقیق بر بهینه کردن نیاز هر یک از مشتریان تا کید و تابع هدف به صورت کمینهکردن حداکثر زمان طی شده براي هر مشتري در نظر گرفته شده است. همچنین زمان سپري شده توسط هر مشتري مشتمل بر زمانهاي سفر مشتري از مکان استقرار تا تسهیل تخصیص یافته به انضمام زمانهاي انتظار در صف دریافت خدمت در نظر گرفته شده است. فرض وجود ازدحام علاوه بر مساي ل متعارف مکانیابی تسهیلات در نسخههاي جدیدتري از مساي ل مکانیابی 1 11 مانند مکانیابی هاب مکانیابی رقابتی و طراحی زنجیره تا مین در نظر گرفته شدهاند. [11] میراندا دي کامارگو و یک مدل برنامهریزي ریاضی عدد صحیح آمیخته براي تعیین مکان استقرار هابها اراي ه کردهاند. در این تحقیق هزینههاي ناشی از ازدحام در هر هاب به کمک تابعی از مقدار جریان در هاب محاسبه میشود. تابع هدف مدل پیشنهادي هزینههاي استقرار هزینههاي حمل و نقل و هزینههاي ناشی از ازدحام در هابها را کمینه میکند. محققان براي حل مدل پیشنهادي خود از روش 13 تجزیه بندرز استفاده کردهاند. کونور و گیونس [1] یک مدل مکانیابی چندتسهیلی رقابتی را با در نظر گرفتن وقوع ازدحام ترافیکی در خطوط ارتباطی اراي ه کردهاند. در این مدل تعدادي شرکت ضمن استقرار مراکز فروش خود براي افزایش منافع خود به رقابت میپردازند. هزینههاي ازدحام در هر یک از مسیرهاي ارتباطی براي هر شرکت به صورت تابعی خطی از مقدار کل جریان در آن مسیر محاسبه میشود. محققان براي حل مدل یک روش ابتکاري پیشنهاد و نتایج آن را با روش جستجوي تصادفی مقایسه کردند. جوزدانی و [13] همکاران یک مدل برنامهریزي عدد صحیح آمیخته غیرخطی پویا براي برنامهریزي زنجیره تا مین و مکانیابی تسهیلات مرتبط با چرخه تولید لبنیات اراي ه کردهاند. در این مدل نبود قطعیت در مقادیر تقاضا به صورت اعداد فازي مثلثی نمایش داده شده است. علاوه بر این فرض وقوع ازدحام ترافیکی در مسیرهاي ارتباطی از جمله فرضهاي کلیدي در این تحقیق محسوب میشود. تابع هدف مدل اراي ه شده مجموع هزینههاي استقرار تسهیلات هزینههاي ناشی از ازدحام ترافیکی و هزینههاي حمل شیر خام شیر پردازش شده و محصولات لبنی را کمینه میکند. یکی از موضوعات مهمی که در تحقیقات مکانیابی تسهیلات پرازدحام کمتر بدان پرداخته شده است امکان انصراف مشتري قبل یا بعد از ورود به سیستم خدمتدهی است مقولهاي که در بسیاري از سیستمهاي صف دنیاي واقعی مشاهده میشود. انصراف قبل از ورود که به دلیل ازدحام بیش از آستانه تحمل مشتري مهمترین نوع انصراف به شمار میرود. اتفاق میافتد همچنین در بسیاري از سیستمهاي صف دنیاي واقعی مشتري پس از انصراف از ورود به یک تسهیل ممکن است به امید خلوتتر بودن تسهیلات دیگر به این تسهیلات مراجعه کند. تحقیق انجام شده توسط برمن و از [7] همکاران معدود مطالعاتی است که به موضوع انصراف مشتري پرداخته است. مطالعه از نوع مدل صف در نظر گرفته شده در این M/M/1/K است. به دلیل ساختار پیچیده این

4 نشریه تخصصی مهندسی صنایع, دوره 48 شماره 1 فروردین ماه مسي له مدل ریاضی صریحی در این تحقیق اراي ه نشده است و فقط شکل ریاضی معیار ارزیابی راهحلها ) هب عنوان تابع هدف) به صورت حداکثرکردن امید ریاضی تقاضاي جذبشده اراي ه شده است. بر اساس معیار ارزیابی مربوطه دو الگوریتم ابتکاري تقریبی براي حل پیشنهاد مسي له شده است. الگوریتمهاي اراي ه شده ساختار تکراري 14 حریصانه دارند بدین معنی که در حلقههاي بهبود تکرارشونده مکانهاي استقرار تسهیلات تا جایی تغییر داده میشوند که امکان بهبود راهحل وجود داشته باشد. به دلیل ساختار ابتکاري الگوریتمهاي اراي ه براي بهینگی راهحل نهایی وجود ندارد. شده تضمینی در تحقیق حاضر مسي له مکانیابی شبکهاي براي دو تسهیل پرازدحام در قالب یک مدل پوششی مورد بررسی قرار میگیرد. در این مسي له انصراف قبل از ورود (به دلیل فضاي انتظار تسهیل یا کمحوصلگی مشتري) به عنوان یکی از منابع از دست دادن تقاضا مدنظر قرار میگیرد. بدین منظور فرض میشود که تقاضاي هر مشتري از طریق نزدیکترین تسهیل پوشش داده میشود و در صورتی که مشتري در لحظه ورود با تعداد مشتریانی بیش از آستانه انتظار روبهرو شود از ورود منصرف شده و به تسهیلباز دیگر مراجعه میکند. در صورتی که مشتري در تسهیل دوم نیز با صف بیش از حد تحمل مواجه شود از دریافت خدمت منصرف میشود و در نتیجه تقاضاي وي به عنوان تقاضاي از دست رفته محسوب میشود. در مسي له دوتسهیلی حاضر به عنوان شکل خاصی از مسي له چندتسهیلی هر تسهیل به عنوان پشتیبان براي تسهیل دیگر عمل میکند بنابراین نیازي به تصمیم در گرفتن مورد انتخاب تسهیل پشتیبان براي هر تسهیل وجود ندارد. این در حالی است که در شکل اصلی مسي له باید براي هر یک از تسهیلات احداث شده تسهیل پشتیبان نیز با در نظر گرفتن متغیرهاي تصمیم مناسب مشخص شود. در نظر گرفتن این مجموعه از متغیرهاي تصمیم مدلسازي مسي له را بسیار پیچیده میکند به گونهاي که لازم است شیوه دیگري براي مدلسازي مدنظر قرار گیرد. ساختار مطالبی که در ادامه عنوان خواهند شد بدین ترتیب است: در بخش بعدي شکل کلی مسي له تشریح و یک مدل ریاضی اراي ه میشود. براي به دست آوردن شکل صریحی براي مدل ریاضی مدل صف متناظر در مسي له بخش سوم تحلیل و نتایج آن در بازنویسی مدل ریاضی مورد استفاده قرار میگیرد. براي عددي در بخش چهارم یک مثال تشریح نحوه استفاده از مدل ریاضی و به دست آوردن راهحل بهینه اراي ه جمعبندي مقاله اراي ه میشوند. میشود. در نهایت نتیجهگیري و اراي ه پیشنهادها در بخش آخر بیان مسي له و اراي ه مدل ریاضی مسي لهاي که در این تحقیق بررسی مسي له میشود مکانیابی شبکهاي براي دو تسهیل مستعد ازدحام یا داراي صف است. فرض شده است که شبکهاي از گرهها و کمانهاي واصل بین آنها از قبل مشخص است. مشتریان متقاضی دریافت خدمات در برخی از گرههاي این شبکه مستقر هستند و مقدار تقاضاي هر یک از آنها یک متغیر تصادفی است. هدف مسي له انتخاب دو تسهیل از بین تعدادي مکانهاي کاندیدا است که از قبل مشخص شده است به نحوي که میزان تقاضاي از دست رفته به دلیل انصراف مشتري از دریافت خدمات کمینه شود. در هر یک از دو تسهیل یک خدمتدهنده با زمانهاي خدمتدهی نمایی مستقر است. بر اساس قاعده مجاورت فرض میشود که هر مشتري به نزدیکترین تسهیل مراجعه میکند. در صورتی که در لحظه رسیدن مشتري به تسهیل متناظر با تعداد نفراتی بیش از آستانه تحملش مواجه شود از ورود به آن منصرف و به تسهیل دوم مراجعه میکند. در تسهیل دوم نیز در صورتی که مشتري با ظرفیت کامل صف مواجه شود به طور کلی از دریافت خدمت منصرف میشود و در نتیجه تقاضاي وي به عنوان تقاضاي از دست رفته تلقی میشود. از آنجایی که زمانهاي بین دو مراجعه به هر یک از تسهیلات و همچنین زمانهاي خدمتدهی در هر تسهیل متغیرهاي تصادفی هستند لازم است براي محاسبه احتمال انصراف کلی هر یک از مشتریان سیستم صف هر خدمتدهنده مشخص و تحلیل نخست با در نظر گرفتن احتمال شود. در این بخش انصراف کلی مشتریان (احتمال کامل بودن ظرفیت هر دو تسهیل باز) به صورت پارامتر مدل ریاضی مسي له اراي ه میشود و سپس در بخش بعدي احتمال مربوطه از طریق تحلیل معادلات تعادل سیستم صف محاسبه و در مدل جایگزین میشود. مفروضات زیر در مدلسازي مسي له مدنظر قرار گرفتهاند:

5 17 n احتمال حدي حضور : n, m نفر در تسهیل دوم. مکانیابی براي دو تسهیل... مختصات گرههاي شبکه و در نتیجه کوتاهترین فاصله بین هر جفت گره از قبل مشخص است. مشتریان در گرههایی از شبکه مستقر شدهاند. فواصل زمانی بین تقاضاهاي متوالی هر یک از گرههاي متقاضی دریافت خدمات از یک توزیع نمایی با نرخ مشخص پیروي میکند. زمانهاي خدمتدهی در هر یک از دو تسهیل باز از توزیعهاي نمایی با نرخهاي یکسان پیروي میکنند. ظرفیت تسهیلات باز که معرف آستانه تحمل مشتریان است از قبل مشخص است. نظام خدمتدهی از نوع نوبتی است و صفها در حالت 15 پایدار بررسی میشوند. I نمادگذاري به کار رفته در مدل ریاضی به شرح زیر است: مجموعه اندیسها j ) : مجموعه مشتریان ) i اندیس مشتریان) : مجموعه سایتهاي بالقوه احداث تسهیل J اندیس سایتهاي کاندیدا) r و l : مجموعه تسهیلات ) L پارامترها k و : C تعداد مشتریان : تعداد سایتهاي کاندیدا S K d i اندیس تسهیل) : ظرفیت تسهیلات باز (آستانه تحمل مشتریان) : نرخ تقاضا (تعداد در واحد زمان) براي مشتري i : نرخ خدمتدهی در هر یک از تسهیلات : کوتاهترین فاصله بین گره i و گره j : M اعداد بزرگ مثبت و ماتریس نرخ انتقال براي وضعیتهاي سیستم صف t ij M 1 : Q متغیرهاي تصمیم : اگر سایت بالقوه j y jl به منظور استقرار تسهیل فعال شود برابر 1 و در غیر این صورت برابر 0 است. l ام x ijl : اگر مشتري i به تسهیل l ام که در سایت مستقر j است تخصیص یابد برابر 1 و در غیر اینصورت برابر 0 است. نفر در تسهیل اول و m با در نظر گرفتن نمادگذاري معرفی شده مدل ریاضی متناظر با مسي له به این ترتیب اراي ه میشود: Min Z K, K c l ijl i i 1 j 1 s s x ijl j 1 l 1 l 1 s y y jl jl j1 c 1 1 x d 1 j l 1 i l x M y j, l ijl i 1 s jl irl ir ij jk r 1 l 1 Π. Q 0 n, m x t t M 1 y i, j, k n, m 1 x, y 0,1, j, l ijl jl i 0 l 0 1 n, m ( n, m) (1) () (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (1) در صورتی که مشتري هنگام مراجعه با ظرفیت کامل هر دو تسهیل مواجه شود امکان پوشش تقاضاي وي ندارد. وجود با این اوصاف درصد اوقاتی که تقاضاي مشتریان از دست میرود برابر با درصد اوقاتی است که هر دو تسهیل به طور کامل پر هستند (به عبارتی امکان پذیرش مشتریان را ندارند). بنابراین تابع هدف مسي له به صورت کمینهکردن درصد زمانهاي بلوکهشدن هر دو تسهیل یعنی K, K () در رابطه (1) تعریف شده است. رابطه مجموع تقاضاي مربوط به هر یک از تسهیلات را محاسبه میکند. (3) محدودیت تضمین میکند که هر مشتري به یک تسهیل تخصیص داده شود. محدودیت (4) نشان میدهد که در هر سایت کاندیدا حداکثر یک تسهیل مستقر میشود. محدودیت (5) تضمین میکند که هر تسهیل فقط در یکی از سایتهاي کاندیدا مستقر شود. (6) محدودیت تضمین میکند که مشتریان فقط به : مجموع نرخ تقاضاي ورودي به تسهیل. l : بردار احتمالات حدي براي سیستم صف. l Π

6 نشریه تخصصی مهندسی صنایع, دوره 48 شماره 1 فروردین ماه M 1 تسهیلات باز تخصیص یابند. در این محدودیت نشاندهنده یک عدد مثبت بزرگ است و حداقل باید برابر با تعداد کل نقاط تقاضا در نظر گرفته شود. محدودیت (7) قاعده مجاورت را تضمین میکند بدین معنی که هر مشتري به نزدیکترین تسهیل تخصیص مییابد. M نیز یک عدد مثبت بزرگ است و حداقل باید برابر با بزرگترین عدد موجود در ماتریس فاصله در نظر گرفته شود. محدودیتهاي (8) و (9) مجموعه معادلات تعادل مرتبط با سیستم صف را نشان میدهند. لازم به ذکر است (8) که رابطه فقط شکل کلی معادلات تعادل براي یک زنجیره مارکوف پیوسته است و لازم است پس از تحلیل سیستم صف به صورت مجموعهاي از معادلات صریح شود. بازنویسی محدودیتهاي (1) تا (10) متغیرهاي مربوط به مدل اراي ه شده را نشان میدهند. تحلیل سیستم صف ندارد. دامنه مدل ریاضی اراي ه شده در بخش قبل شکل صریحی بدین معنی که براي به دست آوردن مقدار تابع هدف (احتمال انصراف مشتري) لازم است نخست دستگاه معادلات تعادل سیستم صف (روابط (8) و (9)) حل شود. براي دستیابی به شکلی صریح براي تابع هدف لازم است سیستم صف مربوطه تحلیل و دستگاه معادلات تعادل آن حل شود. نخستین گام در تحلیل یک سیستم صف اراي ه تعریفی مناسب براي وضعیتهاي آن است. واضح است که دو خدمتدهنده موجود در شبکه به طور کامل مستقل عمل نمیکنند و بخشی از مشتریان هر یک از این دو تسهیل به دلیل وجود ازدحام بیش از حد انتظار (تکمیل ظرفیت) در خدمتدهنده متناظرشان به خدمتدهنده دیگر مراجعه میکنند. با این اوصاف ورودي هر یک از تسهیلات علاوه بر مشتریانی که به آن تخصیص یافتهاند شامل بخشی از مشتریان تسهیل دیگر که موفق به دریافت خدمت نشدهاند نیز هست. بنابراین فرآیند ورود به هر تسهیل پواسان نیست و سیستمهاي صف مربوط به تسهیلات باز را نمیتوان به صورت سیستمهاي مستقل M/M/1/K در نظر گرفت. استقلال خدمتدهندگان) وجود چنین مشکلی (نبود باعث میشود نتوان از تعریف وضعیت و نتایج سیستمهاي صف متعارف استفاده کرد. در نظر گرفتن همزمان تعداد مشتریان حاضر در دو تسهیل خدمتدهنده به عنوان وضعیت سیستم صف چنین مشکلی را حل میکند. بدین ترتیب وضعیت سیستم صف n, تعریف میشود که در آن n تعداد به صورت m مشتریان موجود در تسهیل اول و m تعداد مشتریان موجود در تسهیل دوم را نشان میدهد. این نوع تعریف وضعیت مشابه تعریف وضعیت براي سیستمهاي صف 16 فوقمکعبی است. تحقیقاتی که به بررسی چنین سیستمهاي صفی پرداختهاند به دشواري تحلیل این سیستمهاي صف اذعان کردهاند. لارسون [1] اولین کسی است که از سیستمهاي صف فوقمکعبی در تحلیل مسي له مکانیابی تسهیلات اورژانسی استفاده کرده است. در این مسي له فرض همکاري تسهیلات در اراي ه خدمات در نظر گرفته شده است بدین معنی که در صورتی که تسهیلی قادر به پاسخگویی نیاز یکی از مشتریان خود نشود سایر تسهیلات میتوانند به عنوان پشتیبان این نیاز را جوابگو باشند. محقق براي هر یک از تسهیلات دو وضعیت صفر و یک را که معرف مشغول یا بیکار بودن تسهیل است در نظر گرفته و به اراي ه معادلات تعادل پرداخته است. چنین تعریف وضعیتی براي مساي ل مکانیابی تسهیلات اورژانسی که در آنها فرض تسهیل پشتیبان در نظر گرفته میشود متداول است به طور مثال میتوان از ماریانوف و رول [14] و آتکینسون [15] نام برد. تعریف وضعیتی که در تحقیق حاضر استفاده شده است را میتوان حالت تعمیمیافتهاي از تعریف وضعیت مربوط به سیستمهاي صف فوقمکعبی در نظر گرفت. بدین صورت که وضعیت هر یک از تسهیلات خدمتدهنده به جاي بیکار یا مشغول بودن به صورت (صفر یا یک) تعداد مشتریان موجود در آنها در نظر گرفته میشود. از آنجایی که وضعیت هر تسهیل به صورت تعداد نفرات موجود در آن تعریف شده است و ظرفیت هر یک از تسهیلات نیز K نفر است تعداد کل وضعیتهاي سیستم K 1 خواهد بود. معادلات تعادل مربوط به وضعیتهاي این سیستم صف به شرح روابط (13) تا (1) هستند: 1 0,0 1,0 0,1 1 n,0 1 n1,0 ; 0 n1,0 n,1 n K (13) (14)

7 19 1 0, m 0, m1 ; 0 1, m 0, m1 m K مکانیابی براي دو تسهیل... 1 K,0 1 K 1,0 K,1 1 0, K 0, K 1 1, K 1 n, m 1 n1, m n, m1 n1, m n, m1 ; 0 n, m K ( ) 1 n, K 1 n1, K n, K 1 n1, K ; 0 n K ( ) 1 K, m 1 K, m1 1 K 1, m K, m1 ; 0 m K K, K 1 K 1, K K, K 1 در حقیقت این معادلات همارز شکل ماتریسی (15) (16) (17) (18) (19) (0) (1) معادلات تعادل است که در رابطه (8) نشان داده شدهاند. ( K با مشخص بودن ظرفیت تسهیلات ) خدمتدهی در هر تسهیل و نرخ ) ) میتوان با پارامتریک در ( 1 و ) بالا به دست نظر گرفتن نرخهاي ورود هر یک از تسهیلات احتمالات حدي را از حل دستگاه معادلات آورد. از سویی از آنجایی که مجموع نرخهاي ورود به دو ( i تسهیل برابر با کل نرخ تقاضاي مشتریان ) است میتوان احتمالات حدي را فقط بر حسب محاسبه کرد. بدین ترتیب تابع هدف مدل ریاضی اراي ه ( K. K شده در بخش قبل ) تصمیم به صورت تابعی از متغیر بازنویسی شده و مجموعه معادلات تعادل (روابط (8) و (9)) از مجموعه محدودیتهاي مسي له حذف میشوند. با انجام این مراحل مدل ریاضی در شکلی صریح به دست خواهد آمد و میتوان از نرمافزارهاي بهینهساز 1 براي حل آن استفاده کرد. مثال عددي در این قسمت مدل اراي ه شده براي یک مثال عددي حل و بررسی میشود. مثال عددي اراي ه شده شامل 10 نقطه تقاضا است و هر نقطه تقاضا به عنوان یک مکان کاندیدا براي احداث دو تسهیل در نظر گرفته شده است. محدودیت فضا براي هر یک از تسهیلات سه نفر در نظر گرفته شده است. ماتریس فواصل بین جفت گرههاي شبکه و همچنین نرخهاي تقاضاي مربوط به هر گره (مشتري) (1) در جدول نشان داده شدهاند. نرخ خدمتدهی براي هر یک از دو تسهیل برابر با یک خدمت در واحد زمان در نظر گرفته شده است. مجموع کل تقاضاي مشتریان نیز که از آخرین سطر جدول (1) قابل محاسبه است برابر با یک تقاضا در واحد زمان است. 1 جدول 1: ماتریس فاصلهاي و نرخهاي وقوع تقاضا d

8 نشریه تخصصی مهندسی صنایع, دوره 48 شماره 1 فروردین ماه با توجه به آنچه در بخش قبل گفته شد تعداد کل وضعیتهاي سیستم 16 بنابراین است. وضعیت 16 معادله تعادل نیز متناظر با این وضعیتها بر اساس روابط (13) تا (1) به دست میآیند. از آنجایی که این معادلات وابستگی خطی دارند دستگاه معادلات تعادل مربوط به سیستم صف از جایگزین کردن یکی از معادلات با رابطه مربوط به مجموع احتمالات حدي (رابطه (9)) به دست خواهد آمد. با انجام جایگزینیهاي 1 و در دستگاه معادلات به دست آمده میتوان احتمالات حدي را بر حسب مقادیر به دست آورد. پس از حل پارامتریک این دستگاه معادلات مقدار تابع هدف به صورت زیر به دست میآید: K, K A B () هستند: که در آن A و B (3) چندجملهايهایی به شکل زیر A B (4) با در اختیار داشتن شکل صریح تابع هدف میتوان مدل ریاضی اراي ه شده را با در نظر گرفتن رابطه () به عنوان تابع هدف و محدودیتهاي (10) و (7) تا () (11) COUENNE کرد. بازنویسی از نرمافزار بهینهساز و مدل ایجادشده توسط حلکننده GAMS حل شده است. نتایج حل حاکی از آن است که در راهحل بهینه تسهیلات 1 و به ترتیب در مکانهاي کاندیداي 3 و 5 مستقر شده و به ترتیب مجموعه مشتریان { و 9} و {5 8 7 و 10} را با مجموع تقاضاهاي 0/49 و 0/51 پوشش میدهند. مقدار بهینه به دست آمده براي تابع هدف نیز 0/016 است. با توجه به اینکه پارامترهاي K (نرخ خدمتدهی در هر تسهیل) (ظرفیت تسهیلات) و از اصلیترین پارامترهاي مو ثر بر درصد تقاضاي از دست رفته هستند در این قسمت به تحلیل حساسیت و بررسی تا ثیر این دو پارامتر بر نتایج حل مدل میپردازیم. مثال یاد شده با در نظر گرفتن مقادیر K و حل میشود. جداول براي این منظور (3) و () مختلف مقادیر مربوط به پارامترهاي یاد شده و نتایج حل مثال عددي را نمایش میدهد. نتایج حل حاکی از آن است که با افزایش ظرفیت تسهیلات (آستانه تحمل مشتریان) درصد تقاضاي از دست رفته کاهش مییابد. افزایش نرخ علاوه بر این خدمتدهی در تسهیلات نیز به کاهش درصد تقاضاي از دست رفته کمک میکند. جدول : نتایج تحلیل حساسیت روي ظرفیت تسهیلات K شماره تسهیلات تابع هدف 1, , , , , جدول 3: نتایج تحلیل حساسیت بر روي نرخ دمتدهی شماره تسهیلات تابع هدف 0.8, , , , , جمعبندي و اراي ه پیشنهادها مکانیابی تسهیلات پرازدحام با خدمتدهنگان ثابت یکی از پرکاربردترین انواع مدلهاي مکانیابی به شمار میرود که در طی دو دهه اخیر توجه بسیاري از محققان این حوزه را به خود جلب کرده است. در این مقاله به مسي له مکانیابی شبکهاي براي دو تسهیل مستعد ازدحام با در نظر گرفتن بیحوصلگی مشتریان پرداخته شد. در این مسي له چنین فرض شد که هر مشتري به نزدیکترین تسهیل باز مراجعه میکند. در صورتی که در لحظه رسیدن مشتري به تسهیل متناظر با تعداد نفراتی بیش از آستانه تحمل خود مواجه شود از ورود منصرف شده و به تسهیل دوم مراجعه میکند. در تسهیل دوم نیز در صورتی که مشتري با ظرفیت کامل صف تسهیل مواجه شود به طور کلی از دریافت خدمت منصرف و تقاضاي وي به عنوان تقاضاي از دست رفته تلقی میشود. این مسي له با هدف کمینهکردن مجموع تقاضاهاي از دست رفته در قالب یک مدل ریاضی عدد صحیح آمیخته غیرخطی براي شد. مدلسازي تحلیل سیستم صف مسي له حالت تعمیمیافتهاي از تعریف وضعیت در سیستمهاي صف فوقمکعبی معرفی شده و شکل کلی معادلات تعادل سیستم صف به دست آمدند. در تعریف وضعیت جدید

9 مکانیابی براي دو تسهیل... وضعیت هر یک از تسهیلات خدمتدهنده به جاي بیکار یا مشغول بودن (صفر یا یک) که در سیستمهاي فوقمکعبی متداول است به صورت تعداد مشتریان موجود در آنها شد. تعریف از ترکیب نتایج به دست آمده از تحلیل سیستم صف در مدل ریاضی اولیه شکل صریحی از یک مدل ریاضی عدد صحیح آمیخته غیرخطی معرفی شد. براي تشریح نحوه استفاده از مدل ریاضی معرفی شده یک مثال عددي معرفی و توسط نرمافزار بهینهساز GAMS حل شد. حوزههاي پژوهشی که در ادامه معرفی میشوند میتوانند زمینههاي تحقیقاتی جذابی براي مطالعات بعدي باشند: با افزایش تعداد تسهیلات تعداد معادلات به صورت نمایی افزایش یافته و از این رو حل پارامتریک معادلات تعادل براي استخراج احتمالات حدي دشوار و گاه غیرممکن میشود. به این دلیل اراي ه مدلهایی جامعتر 1 براي استقرار بهینه تعداد بیشتري از تسهیلات میتواند در تحقیقات بعدي مدنظر قرار گیرد. در این مقاله شکل خاصی از بیحوصلگی مشتریان (انصراف قبل از ورود به دلیل مشاهده جمعیتی بیش از آستانه تحمل) مورد مطالعه قرار گرفت. در بسیاري از سیستمهاي دنیاي واقعی مشتریان با توجه به تعداد نفرات موجود در هر تسهیل در مورد ورود یا انصراف تصمیمگیري میکنند. در واقع با افزایش تعداد نفرات منتظر در تسهیل احتمال ورود فرد جدید به آن تسهیل کاهش مییابد. از سویی افرادي که در صف منتظر هستند ممکن است قبل از آنکه نوبت آنها برسد از دریافت خدمت منصرف شده و سیستم را ترك کنند (انصراف بعد از ورود). در نظر گرفتن گونههاي دیگر انصراف مشتریان و حالات ترکیبی این دستهها میتواند زمینه تحقیقاتی مناسبی براي ادامه مطالعات باشد. مراجع 1- Larson, R. C. (1974). A hypercube queuing model for facility location and redistricting in urban emergency services. Computers and Operations Research., 1, PP Larson, R. C. (1975). Approximating the performance of urban emergency service systems. Operations Research., PP Wang, Q., Batta, R. and Rump, C. (00). Algorithms for a facility location problems with stochastic customer demand and immobile servers. Annals of Operations Research., 111, PP Berman, O. and Drezner, Z. (007). The multiple server location problem. Journal of the Operational Research Society., 58: Pasandideh, S. H. R. and Akhavan Niaki, S. T. (010). Genetic application in a facility location problem with random demand within queuing framework. J Intell Manuf., DOI /s Chambari, A. H., Rahmati, S. H. Hajipoor, V. and Karimi, A. (011). A Bi-Objective Model for Location- Allocation Problem within Queuing Framework. World Academy of Science, Engineering and Technology., Berman, O., Huang. R. Kim, S. and Menezes. (007). Locating capacitated facilities to maximize captured demand. IIE Transactions., 39, PP Hamaguch, T. and Nakade, K. (010). Optimal Location of Facilities on a Network in Which Each Facility is Operating as an M/G/1 Queue. J. Service Science & Management., 3, Moghadas, F. M. and Taghizadeh, K. (011). Maximal covering location-allocation problem with M/M/k queuing system and side constraints. Iranian Journal of Operations Research., (), Aboolian, R., Berman, O. and Drezner, Z. (009). The multiple server center location problem. Journal of Operations Research., 167: De Camargo, R. S. and Miranda, G. (01). Single allocation hub location problem under congestion: Network owner and user perspectives. Expert Systems with Applications, 39(3),

10 نشریه تخصصی مهندسی صنایع, دوره 48 شماره 1 فروردین ماه Konur, D. and Geunes, J. (01). Competitive multi-facility location games with non-identical firms and convex traffic congestion costs. Transportation Research Part E: Logistics and Transportation Review, 48(1), Jouzdani, J., Sadjadi, S. J. and Fathian, M. (013). Dynamic dairy facility location and supply chain planning under traffic congestion and demand uncertainty: A case study of Tehran. Applied Mathematical Modelling, 37(18), Marianov, V. and ReVelle, C. (1996). The queueing maximal availability location problem: a model for the siting of emergency vehicles. European Journal of Operational Research., 93: Atkinson, J., Kovalenko, I. Kuznetsov, N. and Mykhalevych,K. (008). A hypercube queueing loss model with customer-dependent service rates. European Journal of Operational Research., 191 (1), ISSN , PP Web Proxy - Congestion 3 - p median 4 - c center 5 - Set Covering 6 - Proximity Rule 7 - Gravity Rule 8- Genetic Algorithm 9- Simulated Annealing 10- Tabu Search 11- Hub Location Problem 1- Competitive Facility Location 13- Benders Decomposition 14- Greedy 15- Steady State 16- Hypercube Queuing Model واژههاي انگلیسی به ترتیب استفاده در متن